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Per
una storia dei "giochi":
Bruno de Finetti
RIFLESSIONI SU UNA GARA
MATEMATICA
1. PREMESSE
La prima gara matematica indetta
a Roma (dall'Istituto matematico dell'Università
congiuntamente alla sezione "Mathesis"), nel quadro
dell'iniziativa del CONARM (Comitato nazionale ricercatori
matematici) promossa a seguito di precedenti esperimenti
all'Università di Trieste (e in conformità a quanto da tempo
praticato in diversi paesi), ha avuto luogo il 27 settembre
1962. Aperta ai giovani dai 15 a 20 anni non iscritti
all'Università, ebbe 55 iscrizioni; i presenti furono 40 (di
cui 8 ragazze).
Dico subito che non intendo affatto
lamentarmi del livello generale di preparazione o capacità dei
concorrenti: la maggior parte si è cimentata in modo
soddisfacente almeno su alcuni problemi (come dicono le
avvertenze, non c'era obbligo di affrontarli tutti), e
parecchi hanno avuti spunti felici riguardo a qualche aspetto
delicato o complementare. Il fatto che intendo segnalare è il
pregiudizio che la "scolasticità" degli insegnamenti
matematici, quali di fatto sono nei programmi e nella realtà ,
porta al valore formativo educativo propulsivo che dovrebbero
avere per l'intelligenza e la fantasia dei giovani. La
separazione tra matematica e i concetti e problemi pratici da
una parte, e addirittura la segmentazione della matematica in
compartimenti stagni dall'altra, fanno sì che in ogni problema
ove gioverebbe usare, ben fusi insieme, considerazioni
intuitive o di buon senso e strumenti o nozioni anche semplici
presi un po' qua e un po' là da geometria, aritmetica,
algebra, calcolo numerico ecc., si veda che tali studi si
intralciano o restano separati, ossia non sono stati
assimilati come un tutto armonico e indivisibile. Inoltre il
concetto della matematica e molti concetti della matematica
sembrano legati alla rigidezza di visioni o di casi troppo
particolari. |
2. ALCUNE CONSTATAZIONI
GENERALI.
Le constatazioni più
sorprendenti si possono trarre dal primo problema (A), che era
semplicissimo, addirittura banale, eppure rivelò tante cose.
Intanto, che significhi dire che due rettangoli sono
simili è cosa che molti dichiarano o rivelano di
non sapere o non ricordare; per taluni sembra debbano essere
omotetici (simili e similmente disposti), per altri tutti i
rettangoli sono simili data l'uguaglianza degli angoli; uno
esprime il dubbio che forse dovrebbe aversi anche
proporzionalità dei lati. Ciò mostra quanto sia deleterio il
criterio di presentare concetti generali come quello di
similitudine riferendosi a un caso particolare come quello dei
triangoli, inducendo a confonderlo con proprietà secondarie
(l'uguaglianza degli angoli) con cui solo ivi casualmente
coincide: buona parte delle "persone colte" potranno così non
possedere mai il concetto di similitudine! Molti altri
pervennero a determinare i lati come richiesto, ma si
fermarono all'espressione ( 2 1/4, 1/ 2
1/4) senza pensare di indicarne la costruzione
geometrica (tranne uno), o di rendersi conto (sia pure con
verifiche sommarie) del valore numerico. Un collega mi disse
che solo alle magistrali s'inculca la cura di precisare le
conclusioni con approssimazioni numeriche, considerate invece
con disdegno nell'empireo dei licei ( e non stento a
crederlo!). C'è poi da notare come oltre metà (8 su 17 che
impostarono il problema correttamente, e 10 su 17 che
abbozzarono impostazioni errate o insufficienti), anziché
scrivere subito direttamente le relazioni tra i lati
indicandoli, ad esempio, con a e b, oppure
x e y, si sono sentiti in dovere, avendo una
figura, di indicare con maiuscole i vertici scrivendo poi
molte relazioni inutili (per esempio, l'uguaglianza di lati
opposti di un rettangolo) e dando forma inutilmente complicata
a quelle utili. Così parecchi si perdono per sviste o
ingarbugliandosi.
Analogo rilievo scaturisce dall'ultimo
problema (F), dove, per non fare a memoria una prima ovvia
considerazione ancora prima dell'impostazione in formule,
parecchi commettono un errore di segno. Svista scusabilissima
in sé; ma la possibilità di una svista del genere non sarebbe
sorta se venisse inculcata la raccomandazione di individuare
fin dall'inizio ciò che è essenziale e il modo in cui lo si
possa scrivere subito nella forma più conveniente; e la
presenza di tale svista avrebbe dovuto balzare agli occhi e
condurre alla sua correzione se venisse inculcata l'abitudine
a non fidarsi solo dei passaggetti eseguiti bensì a rendersi
conto soprattutto della ragionevolezza del risultato. In
questo caso era ovvio che la x doveva essere funzione
crescente di r e R [e avrebbero potuto intuirlo anche i
disgraziati che devono studiare formule il cui solo valore
concettuale starebbe nel formare il senso di cosa sia una
dipendenza funzionale, ma proprio di ciò non sentono neppur
parlare].
Nello stesso spirito della scarsa propensione a
rendersi conto del risultato in senso numerico, va segnalato
come si riveli una scarsa propensione a ritenere che ciò che
si domanda in un problema sia una disuguaglianza anziché
un'uguaglianza. Parecchi ritennero di dover stabilire il
numero massimo di frecce (nel problema C) anziché escludere
semplicemente che potessero raggiungere 125, e qualcuno (nel
problema D) pensava di dover mostrare che il limite indicato,
134.000, fosse esattamente il minimo per cui l'enunciato
valeva. Sembra che nella scuola si trascuri di far sviluppare
il senso dell'intelligente approssimazione, opportuna e
sufficiente per ottenere con adeguata fatica una certa
valutazione, e ci si limiti a parlare di procedimenti esatti
anche se impossibili o pesanti da applicare
praticamente.
E, sempre nello stesso spirito, sembra sia
troppo poco incoraggiata e richiesta una certa abilità nel
disegnare figure in modo chiaro e rispondente allo scopo,
anche se approssimative e indicative, a mano libera (uno disse
che non poteva proseguire perché non aveva il compasso; altri
fecero figure troppo piccole o confuse per stabilire con
certezza anche solo se il concetto di partenza era giusto). In
tutti i sensi, tali fatti sembrano rivelare una carenza di
quelle qualità di "accuratezza artigianale" che costituiscono
un importante aiuto a conseguire chiarezza e ordine anche nel
capire e nel ragionare. Temo che tutto ciò sia forse visto, da
studenti ed insegnanti, con un certo ingiustificato e
pregiudizievole altezzoso disdegno.
Altra circostanza
sintomatica, le dichiarazioni di non poter risolvere dei
problemi per mancanza, non già di conoscenze generiche
effettivamente utili, ma di studi specifici "sulle corone
circolari", "sulle quarte potenze", ecc., come se ogni figura
o funzione o argomento di dettaglio non potesse venir
affrontato che dopo aver imparato una speciale teoria o
qualche artificio tecnico che lo riguardi.
In tal modo lo
studio preclude anziché favorire l'esame intelligente dei
problemi, e si spiega che i risultati migliori li abbia dati
il problema (B) che visibilmente richiedeva che vi si
riflettesse senza ausilio di strumenti
didattici. |
3. UN SUGGERIMENTO
Un collega ed amico
cui comunicai i problemi proposti in questa gara mi scrisse
facendo varie osservazioni, tra cui una che costituisce un
suggerimento degno di essere preso in considerazione.
Trascrivo il brano in questione.
"Sono sempre più convinto
che queste gare siano utilissime. Non credi che potrebbero
essere tali anche per i docenti delle scuole medie, che
dovrebbero "leggere" in esse un indirizzo didattico? Non
ho potuto fare a meno di ricordare, riflettendo su questo
aspetto della questione, le prove di 'lezione' di concorsi a
cattedre per le scuole medie. Credo di essermi spiegato, né
vorrei tediarti con troppo lunghe e scontate
considerazioni".
Figuriamoci se non sono d'accordo! Io ho
fiducia nei giovani, e sfiducia nella scuola com'è attualmente
intesa secondo ottuse e nefaste idee tradizionali. Occorre
"scatenare l'intelligenza, non soffocarla", come
ho detto in un articolo di questo titolo ( su "Mercurio", a.
III, n. 9; settembre 1960) e ripetuto più e più volte, mentre
"attualmente la scuola e la società in genere sembrano
prefiggersi di debellare soffocare mortificare
l'intelligenza", "stortura micidiale" cui "tutto
l'atteggiamento verso i giovani e la loro educazione e
istruzione appare ispirato", e che conduce tra l'altro "a
conseguire il minimo risultato col massimo sforzo".
Di chi
è la colpa? Dei programmi? Dei libri di testo? Degli
insegnanti? Delle scuole che li preparano e dell'inesistenza
di un insegnamento pedagogico e di un tirocinio didattico?
Delle commissioni esaminatrici? Di tutto e di nessuno: è
difficile uscire da un pantano di conformismo, cosicché né
riforme di programmi né sforzi di docenti né criteri
intelligenti di commissioni bastano a operare miracoli
immediati. Però ogni sforzo giova, e anche la buona volontà di
pochi arriverà a smuovere le cariatidi e rivivificare la
scuola, perciò ogni azione sugli insegnanti - specie sui
giovani e giovanissimi - per svegliarne l'intelligenza e
suscitarne l'entusiasmo, costituisce una leva potente.
In
questo spirito, gare del genere possono certamente costituire
un contributo efficace ed un'occasione per infondere coraggio,
coraggio, coraggio. |
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Problema A.
Un foglio rettangolare ha area
1 m2 e forma tale che, tagliandolo a metà
(parallelamente al lato minore) si ottengono due rettangoli
simili a quello di partenza. Calcolarne i lati.
Problema B.
In un torneo di calcio a
girone semplice fra le quattro squadre A, B, C, D, la
classifica finale (cioè dopo che ciascuna delle squadre ha
giocato tutte le tre partite in programma) è la
seguente:
E'
possibile ricavarne il risultato (Vittoria, pareggio,
sconfitta) per ciascuna delle sei partite (ogni squadra contro
tutte le altre?) ed anche il punteggio?
Domanda
supplementare: La soluzione è possibile qualunque siano le
cifre della tabella, o soltanto in casi particolari? Se lo è
in quello indicato sopra, sapreste modificare i dati in modo
da ottenere un esempio in cui sia possibile ricavare i
risultati ma non i punteggi?; o darne un altro in cui non si
possano determinare neppure i risultati?
N.B. Per chi non
abbia pratica dei prospetti del genere, diciamo che la prima
riga significa: la squadra A ha ottenuto (nelle tre partite)
una vittoria, due pareggi, zero sconfitte, ha segnato tre
goals subendone zero. I punti per la classifica sono quattro
(due per ogni vittoria ed uno per ogni pareggio), ma ciò è un
di più che non interessa per il nostro
problema.
Problema C.
Dei ragazzi, tirando delle
frecce contro un bersaglio circolare di un metro di diametro,
ve ne hanno conficcato 125. Dimostrare che tra i punti colpiti
dalle frecce ve ne sono certamente due che distano tra loro
meno di 10 cm.
Problema D
Supponiamo che in una città
ogni abitante abbia un determinato giorno "onomastico", oltre
che, naturalmente un "compleanno". Sappiamo però che in quella
città non esistono due individui che hanno il medesimo
onomastico e il medesimo compleanno. Dimostrare che la città
non ha più di 134.000 abitanti.
Problema E
Consideriamo le due
successioni:
(C) dei cubi: 1; 8; 27; 64; 125; 216; 343;
512; 729; 1000; ...
(Q) delle 4e pot.: 1; 16;
81; 256; 625; ...
Nel
tratto indicato (fino a 1000) si nota che si incontra un
termine della (Q) dopo ogni due della (C); che cosa avverrà in
seguito? ; varrà sempre questa regola?; oppure si
troverebbero, proseguendo indefinitamente:
· termini
successivi della (Q) separati da nessuno o da un solo termine
della (C)?
· oppure separati da un maggior numero di
termini della (C)?
· od anche da un numero di termini della
(C) superiore ad ogni limite fissato comunque grande (per
esempio più di mille, più di un miliardo)?
Problema F
Consideriamo una corona
circolare compresa fra due circonferenze (concentriche) di
raggio r (la minore) e R (la maggiore).
Vogliamo dividerla
con una circonferenza concentrica e intermedia a quelle (il
cui raggio indichiamo con x), in due corone circolari di aree
uguali.
Come si esprime x mediante r ed R?
Come si può
eseguire la costruzione geometricamente?
Se spostiamo il
cerchio intermedio (di raggio x), rispettivamente fino a
toccare la circonferenza interna o quella esterna della
corona, l'area della corona resterà sempre divisa in due
parti uguali, oppure cosa avverrà?
Domanda
supplementare: Sapreste costruire un esempio in modo che r,
R, ed x risultino tutti numeri interi? Suggerimento:
dimostrare dapprima che, in tal caso, r e R devono essere
entrambi pari o entrambi dispari, ricavarne che si può fare la
posizione r = x - y - z ed R = x + y + z con y e z (oltrechè,
come già detto, x) tutti interi, con tale posizione si può
impostare opportunamente la
discussione.
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IL MANIFESTO PER LA GARA
Giovani, una
gara per voi!
"Non rinunciate
a leggere fino in fondo queste poche righe dopo che vi avremo detto
che si tratta di una gara di matematica: vi diremo subito perché ciò
non deve spaventare neppure coloro che contro la matematica hanno un
fatto personale, coloro che si ritengono o vengono ritenuti negati a
capirla. Si tratta spesso di avversione ingiustificata, derivante
non da incapacità ma da casuale incomprensione iniziale o da
preconcetti non saputi vincere in tempo.
Può darsi che ciascuno
di voi possieda delle doti di intuizione e capacità matematica che
non sospetta, e lo scopo delle gare di cui vi parliamo è proprio,
principalmente, quello di scoprire tali doti soprattutto in quelli
che non sono già " bravi in matematica" a scuola. La gara non
somiglierà ad un tema scolastico, ma un po' forse ad un "quiz", pur
differendo per serietà di struttura e d'intendimenti dai "quiz"
dozzinali. Consterà di diverse domande cui tutti potranno rispondere
purché sappiano usare una certa capacità di riflessione e di analisi
intelligente, anche con un minimo corredo di nozioni scolastiche.
Infatti la gara è aperta a tutti i giovani dai 15 ai 20 anni purché
non già iscritti all'Università; a parte ciò potranno partecipare
studenti di scuole di qualunque tipo o grado od anche che non
frequentano alcuna scuola.
Partecipando alla gara non avrete
nulla da perdere (ad es., se uno "bravo" non riesce bene non ha
motivo di scoraggiarsi: può darsi che le sue qualità di diligenza e
sistematicità diano in seguito risultati ottimi anche se al momento
non ha saputo attingere a risorse intuitive che hanno funzionato con
maggior prontezza in tipi diversi): al contrario, un buon risultato
potrebbe aprire a molti di voi delle prospettive insospettate.
Il
mondo moderno ha grande bisogno di matematici, e, oltre ai
matematici nel senso più stretto del termine, di scienziati tecnici
ricercatori dirigenti programmatori dotati di almeno certe facoltà
fondalmentalmente matematiche. Chi mostrerà, in tali gare, di
possederle, si troverà in posizione di favore per avviarsi a studi
del genere, che (a differenza di quelli in molte Facoltà pletoriche
che conducono a lauree per un mercato già saturo) offrono larghe e
buone prospettive di occupazione, non solo come in passato nei vari
gradi dell'insegnamento medio e universitario e nella ricerca
scientifica, ma anche in svariati campi professionali, industriali,
amministrativi.
Per i giovani che si segnaleranno nelle gare sono
previsti dei premi in denaro, in misura intenzionalmente modesta per
togliere alle gare ogni significato di "caccia al premio", ma
sussisteranno prospettive durature di ulteriori affermazioni e di
aiuti anche economici (come eventuale collegamento con borse di
studio) secondo iniziative e modalità che verranno esaminate in
seguito ed in relazione all'esito delle gare. E' previsto, intanto,
che venga organizzata in seguito una gara su base nazionale, alla
quale saranno invitati coloro che avranno rivelato, nel corso delle
gare nelle diverse località, le attitudini più promettenti. Ma
soprattutto si avrà cura di conservare, in una qualche forma che
appaia la più opportuna, un contatto e collegamento tra i giovani
che si segnaleranno nelle gare e l'Istituto Matematico
dell'Università, che potrà seguirli, incoraggiando e possibilmente
agevolando coloro che confermeranno le proprie specifiche attitudini
ed una inclinazione per le attività che lo valorizzerebbero, ad
iscriversi al corso di laurea in Matematica (che, proprio per le
menzionate esigenze, è stato recentemente diviso nei tre indirizzi:
generale, didattico e applicativo)."
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ALTRA DEFINIZIONE DI MATEMATICA
La
matematica nel suo insieme consiste nell'organizzazione di una
serie di sussidi per l'immaginazione nel processo del
ragionamento.
(ALFRED NORTH WHITEHEAD, Universal
Algebra, Cambridge, 1898, p.
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