L’effetto che conta, dell’insegnamento della matematica, non consiste nel saper ripetere le cose studiate, questa sarebbe solo erudizione appiccicaticca, ma nell’acquistare una certa padronanza e capacità nel vedere e affrontare problemi, nel tentare di ragionarvi sopra, e questa è invece la cultura matematica. Per sviluppare queste abilità, occorre superare la mancanza di collegamenti esistenti fra le materie e perfino fra le diverse parti di una stessa materia, cercando di fondere i vari elementi in una visione organica. E’ fondamentale insistere su ciò che vi è di istruttivo in ogni ragionamento, perché ogni argomento appaia non tanto fine a se stesso quanto esempio per aiutare a ragionare da se su casi analoghi. Questa possibilità di integrare in una visione unica lo studio di problemi e aspetti diversi non costituisce un trucco o un accorgimento isolato utilizzabile per caso in qualche speciale occasione. Al contrario, la caratteristica più preziosa e avvincente della matematica, intendendola in senso lato e, cioè, includendovi la sua funzione quale strumento per le applicazioni, è proprio quella di aiutare anzitutto a comprendere e risolvere i problemi più svariati fornendone una visione unitaria. Queste considerazioni giustificano e suggeriscono l’adozione dell’approccio fusionista all’insegnamento della matematica, e non solo. Per definire meglio che cosa si intende per fusionismo possiamo iniziare citando le parole di Bruno de Finetti.

‘Ho sempre indicato nel fusionismo il principale concetto di base per il miglioramento dell’insegnamento e della comprensione della matematica. Nel senso più specifico, in cui fu introdotto da Felix Klein, il fusionismo consiste nella fusione dello studio di geometria da una parte e di aritmetica, analisi ecc. dall’altra; più in generale si tratta di fondere in modo unitario tutto ciò che si studia (anche interdisciplinarmente, tra matematica …), mentre le tendenze antiquate predicavano il “purismo” di ogni ramo da coltivare isolato senza contaminazioni.’ de Finetti B., Contro la “Matematica per deficienti”, Periodico di Matematiche, vol.50, n. 1-2 Maggio 1974.

La rete ci offre molte nuove opportunità per adottare tale approccio, fornendo materiali preziosi e spunti per lavori interdisciplinari. Nel seguito verranno brevemente trattati alcuni esempi da utilizzare, in particolare, per l’insegnamento della probabilità e della statistica.

2. Spunti dalla rete per l’insegnamento integrato della probabilità e della statistica …ma non solo.

L’insegnamento della statistica può essere più dinamico ed efficace utilizzando anche le risorse disponibili su Internet. Alcuni materiali italiani di aggiornamento si possono reperire sui siti: http://www.liceo-vallisneri.lu.it/testi.htm, http://www.unipg/cirdis, ma navigando si possono scoprire materiali interessanti e inaspettati, come cercheremo di mostrare negli esempi che seguono.

Esempio 1. La tragedia del Titanic Partiamo da una notizia breve presa da un quotidiano del 2001.

Esiste, naturalmente, un sito americano dedicato al Titanic, ed esistono delle statistiche sui passeggeri salvati che permettono di affrontare le seguenti questioni:

· al momento di decidere chi imbarcare sulle scialuppe di salvataggio, si è proceduto secondo lo standard “prima le donne e i bambini”?

· La possibilità di salvarsi è stata influenzata dalla “classe” dei passeggeri?

Le risposte, fornite in forma di tabelle statistiche con commento e interpretazione, si trovano sul sito: http://www.sciencedrive.com/mitchk/stats.htm dove sono anche presenti link ad ulteriori pagine relative all’episodio che possono essere di interesse generale come, per esempio, informazioni sulla costruzione della nave e sulle caratteristiche tecniche. Possiamo osservare che sarebbe opportuno coinvolgere l’insegnante di inglese che potrebbe utilizzare il materiale riportato nelle pagine come lettura su cui porre domande, per esempio, per verificare la comprensione del testo.

Per quanto riguarda i quesiti posti sopra, il commento reperibile sulla pagina riporta, tra l’altro:

Il Titanic fu progettato per accogliere diverse classi di passeggeri: prima classe, seconda classe e terza classe. I passeggeri del Titanic erano di diversa classe sociale: si andava dal ricco e famoso al povero e sconosciuto. I passeggeri delle diverse classi erano ospitati in aree diverse della nave con diversi livelli di comfort. Sebbene le cabine di terza classe non fossero eleganti come quelle di prima e seconda classe erano comunque confortevoli, specialmente se paragonate a quelle di altre navi dell’epoca.

La maggioranza dei passeggeri erano emigranti che viaggiavano in terza classe. E’ interessante osservare che proprio tra questi si riscontrò la minore percentuale di salvataggi. Si è obiettato che i passeggeri della terza classe non ebbero la stessa probabilità di salvarsi perché considerati meno importanti di quelli delle altre classi e furono per questo trattati in modo differenziato. Si è anche ritenuto che i cancelli di separazione delle classi, tenuti bloccati, abbiano impedito alla gran parte dei passeggeri della terza classe di raggiungere il ponte dove si trovavano le scialuppe. Occorre sempre ricordare che ci sono due facce per ogni storia…

Infatti, nonostante qualche indizio in favore del fatto che i passeggeri di terza classe possano non avere avuto la stessa possibilità di accedere alle scialuppe, l’inchiesta ufficiale concluse che non c’era stata distinzione di classe al momento dell’imbarco sulle scialuppe. Le donne e i bambini erano stati privilegiati indipendentemente dalla classe. L’inchiesta indicò inoltre che ci furono alcuni ostacoli fisici ad impedire ai passeggeri di terza classe l’accesso al ponte delle scialuppe.

Al commento seguono tabelle e grafici che illustrano e giustificano le conclusioni dal punto di vista statistico.

Riportiamo nel seguito solo le informazioni tabellari minime per ricostruire tutte le distribuzioni statistiche di interesse e i grafici relativi. A partire dalla tabella che segue si può lavorare con gli alunni alla elaborazione ed al commento prima di leggere insieme le ulteriori notizie riportate sul sito.

Tabella con i dati assoluti dei passeggeri (uomini, donne e bambini) salvati e dispersi, suddivisi per classe, e dei membri dell’equipaggio del Titanic.

Alcuni spunti per lavori di gruppo Gli spunti per lavori di gruppo sono di vario tipo. Innanzitutto si può richiedere di ricostruire la scheda di rilevazione dall’archivio dei passeggeri e dell’equipaggio identificando tipologia dei caratteri rilevati e relative modalità. Si può definire, quindi, la struttura della matrice di dati e calcolare le distribuzioni di frequenza relativa a partire dalla tabella fornita sopra. Può essere un utile esercizio chiedere agli alunni di predisporre le rappresentazioni grafiche più adeguate per i dati riportati nella tabella e confrontarle con quelle disponibili sul sito.

E’ possibile utilizzare i dati della tabella per “inventare” esercizi sulle probabilità condizionate. E’ possibile per esempio chiedere:

o Se si considera un passeggero scelto a caso, con quale probabilità si trattava di uno di terza classe?

o Se si considera un passeggero di terza classe scelto a caso, con che probabilità è stato salvato?

o Se si considera un passeggero donna con che probabilità viaggiava in terza classe?

E così via lavorando di fantasia. Si può poi costruire una serie di domande la cui risposta può essere direttamente rilevata dai dati in tabella oppure ottenuta applicando la formula di Bayes e controllare il funzionamento del teorema sui diversi spazi campione. Consideriamo un solo esempio per chiarire il meccanismo di costruzione di questo tipo di esercizi.

Esercizio Se si estrae a caso il nome di un passeggero di sesso maschile e si scopre che è uno di quelli salvati, con che probabilità viaggiava in seconda classe?

Per semplificare la soluzione ricaviamo dalla tabella precedente la tabella ridotta con i dati relativi solo ai passeggeri uomini.

Indichiamo con S l’evento S=’un passeggero uomo si è salvato’ e con U2 l’evento ’un passeggero uomo viaggiava in seconda classe’. Dalla tabella ricaviamo subito:

P(S)=146/796; P(U2)=168/796; P(S/U2)=14/168; P(U2|S)=14/146. L’esercizio chiede proprio quanto vale P(U2|S), che ora vogliamo ricalcolare utilizzando la formula di Bayes. Possiamo scrivere:

P(U1|S)=57/146 e P(U3|S)=75/146 e confrontarle con P(U1)=175/796 e P(U3)=462/796.

Il confronto ci permette di concludere che S e U2 sono correlati negativamente, come anche S e U3, mentre S e U1 sono correlati positivamente.

Questo esercizio fornisce lo spunto per chiarire le differenze tra la valutazione della probabilità secondo lo schema classico e quella secondo lo schema statistico. È, infatti, molto utile osservare che quest’ultimo metodo di valutazione si basa, a tutti gli effetti, sulla costruzione di uno spazio campione “statistico” effettuata dopo l’osservazione dei risultati degli eventi ripetuti. Tale spazio contiene un numero di casi elementari favorevoli equiprobabili pari al numero degli eventi che si sono effettivamente verificati, indichiamolo con N_E, e un numero di casi totali equiprobabili, indichiamolo con N, pari al numero di eventi osservati in totale. In questo modo la nostra valutazione statistica della probabilità attraverso la frequenza relativa

è riconducibile formalmente alla valutazione classica. La differenza fondamentale rimane nel fatto che lo spazio campione frequentista è costruibile solo dopo aver osservato effettivamente i risultati e dipende strettamente da questi. Ogni esperimento, anche analogo in tutto il suo svolgimento, fornisce, in genere, spazi campione diversi e, conseguentemente, valutazioni di probabilità diverse, anche se tanto più simili quanto maggiore è N. Questa osservazione consente, comunque, di dimostrare le proprietà della probabilità solo per la valutazione classica e considerale, quindi, valide anche nel caso di valutazione frequentista.

Esempio 2. (Esempio di presentazione di sintesi statistiche tratto dal sito: www.istat.it)

E’ abbastanza noioso insegnare, e di conseguenza imparare, come sisntetizzare dati statistici, quando tali dati non sono che numeri riportati su un libro di testo e non contestualizzati. Il sito dell’Istituto Nazionale di Statistica, ci offre l’opportunità di utilizzare materiali provenienti da indagini reali e inseriti in un contesto che può essere di interesse per gli studenti, come nel caso riportato sotto.

prima pagina

l'istruzione in Italia

confronto con altri paesi

le immatricolazioni

immatricolazioni ai corsi di laurea

immatricolazioni ai corsi di diploma

abbandono degli studi

carriere irregolari

l'occupazione in Italia per titolo di studio

inserimento professionale di maturi, diplomati e laureati

dalla laurea al lavoro

dal diploma universitario al lavoro

alcune cautele

appendice

Università e lavoro

statistiche per orientarsi

l livello di istruzione della popolazione italiana si è molto elevato negli ultimi decenni: è stato recuperato il ritardo nella scolarizzazione di base rispetto agli altri paesi avanzati ed è aumentato significativamente il tasso di partecipazione ai cicli di studio superiori. Sono soprattutto i giovani ad essere più istruiti: la percentuale di persone che hanno proseguito gli studi dopo la licenza media, cioè che hanno conseguito una qualifica professionale, la maturità o la laurea, è del 54,4% per i giovani fra 25 e 34 anni, rispetto al 35,2% per la popolazione fra 5 e 64 anni. In altri termini, oltre la metà delle giovani generazioni ha proseguito e concluso gli studi dopo la scuola media, mentre soltanto un terzo delle generazioni precedenti aveva fatto lo stesso.

Persone di 25-64 anni per classe d'età e titolo di studio.
Anno 1999, composizioni percentuali

Fonte: Istat, Rilevazione trimestrale sulle forze di lavoro, media 1999

Il Mezzogiorno risulta svantaggiato: sono inferiori l’incidenza della popolazione di 15 anni e più con qualifica professionale (2,8% rispetto a 5,2% della media nazionale) e, in misura minore, la quota dei maturi (23,0% rispetto a 23,1%) e dei laureati (6,1% rispetto a 6,7%).

Persone di 15 anni e più per titolo di studio e ripartizione geografica.
Anno 1999, composizioni percentuali

Fonte: Istat, Rilevazione trimestrale sulle forze di lavoro, media 1999

Come nel caso precedente si può utilizzare il materiale sia per introdurre concetti importanti come, per esempio, quello di distribuzione statistica (è molto importante mostrare le analogie e le differenze con il concetto di “distribuzione di probabilità” quando entrambi saranno stati trattati), sia per mostrare in modo efficace alcune tecniche, come, per esempio, le rappresentazioni grafiche, a partire dall’analisi delle informazioni riportate nella pagina, anziché da situazioni fittizie e spesso di nessun interesse, come accade di vedere nei testi più diffusi. E’ anche possibile, come nel caso precedente, inventare esercizi di probabilità a partire dalle valutazioni statistiche.

Il dono del Nilo Per misurare il livello del Nilo durante la piena e prevedere la dimensione delle zone irrigate, gli Egiziani inventarono e costruirono appositi strumenti chiamati ‘nilometri’ posizionati in diversi punti lungo il corso del fiume. Conoscere l’altezza raggiunta dalla piena era di estrema importanza per la sopravvivenza. Una stagione di magra, caratterizzata da un livello scarso, veniva denominata ‘Nilo basso’ e comportava scarsità di raccolto e possibilità di carestia. Problematica poteva anche rivelarsi una stagione caratterizzata da un’inondazione troppo abbondante, che veniva denominata ‘Nilo alto’, perché poteva distruggere la rete di dighe e canali di irrigazione causando spesso perdita di vite umane, di messi e di bestiame. Inoltre l’acqua troppo abbondante richiedeva un periodo più lungo per ritirarsi lasciando meno tempo per la semina, la germinazione e il raccolto. I nilometri costituivano, pertanto, un importante strumento di previsione, che poteva permettere l’assunzione di misure cautelative per contrastare eventi avversi. Inoltre, dato che gli Egiziani non usavano moneta, ma attuavano i pagamenti in natura, i nilometri erano anche utilizzati per stabilire la quantità di raccolto previsto come tassazione. Una volta registrata la misurazione presso un dato nilometro, l’informazione era inviata al sovrano, come pure ai diversi ‘nomi’ (distretti territoriali) di importanza per l’agricoltura. Il sistema di misura delle lunghezze (e quindi anche dei livelli di piena rilevati dai nilometri di qualsiasi tipo e dovunque posizionati) era basato sul ‘cubito’, corrispondente a circa mezzo metro; erano previsti dei sottomultipli[1], che permettevano misurazioni assai più accurate di quanto fosse in realtà necessario per gli scopi di interesse. E’ notevole che in epoca così antica sia stato stabilito un unico sistema di misurazione così accurato e valido su un’area tanto vasta, ma, come si diceva, l’importanza di tali misurazioni era cruciale per la stessa sopravvivenza dello stato, oltre che dei suoi abitanti, ed era così necessario poter comunicare ed interpretare in modo univoco i dati nei diversi punti del paese.

Esistevano nilometri in tutto il paese. Alcuni cadevano di tanto in tanto in disuso e poi venivano ripristinati, ma tutti venivano consultati nel periodo della piena. La molteplicità delle misure veniva utilizzata dai sacerdoti e dai funzionari per raffinare le previsioni.

Di uno di tali strumenti, risalente all’antico Egitto, rimangono resti ben visibili, sull’isola di Elefantina nell’Alto Egitto, mentre uno più recente, risalente all’epoca di dominazione araba, è visitabile sull’isola di Roda al Cairo. Il nilometro di Elefantina, era di grande importanza perché, situato vicino alla prima cataratta, forniva la prima misurazione di piena; ha l’aspetto di una scala scavata nel granito i cui i gradini servivano per misurare i vari livelli di piena. L’altezza della piena veniva quindi convertita in “area irrigata” e l’area veniva a sua volta convertita in “quantità presunta di raccolto”, sulla base di tale stima veniva quindi calcolata la quantità di raccolto da versare come tasse allo stato. Altri nilometri erano costruiti in modo diverso: potevano essere costituiti semplicemente da pilastri graduati posti all’aperto o da pozzi collegati al fiume con le pareti graduate, che funzionavano sul principio dei vasi comunicanti[2]. I nilometri ancora visibili risalgono al massimo al Medio Regno (2000-1500 a.C. circa), ma le registrazioni delle piene sono documentate fin dall’Antico Regno ed anche in epoca predinastica (ben prima del 3000 a.C.), come si può “leggere” nella cosiddetta pietra di Palermo (una stele di diorite, così chiamata perché il suo più grande frammento si trova nel Museo di Palermo), in cui sono registrate varie informazioni tra cui, per l’appunto, i livelli di piena fin da epoca predinastica[3]. Lo scopo delle misurazioni era, comunque, sempre quello di stimare la quantità di raccolto esigibile come imposta e di poter prevedere e contrastare eventuali eventi avversi legati a piene “anomale”.

La necessità di utilizzare le misure effettuate mediante i nilometri per prevedere eventi e fenomeni di vario genere, costrinse a sviluppare un qualche concetto di media (i livelli di piena misurati dai diversi strumenti mostravano una certa variabilità) e di funzione: ad un certo livello di piena corrispondeva una previsione dell’area irrigata, ma anche, ad un certo livello di piena corrispondeva una misura presunta di raccolto e, conseguentemente, una ben precisa tassa da pagare. E’ anche evidente che tali funzioni o relazioni non potevano che essere valide in media, l’idea sottostante corrispondeva cioè, né più né meno, al moderno concetto di regressione statistica.

Per gli antichi Egizi i motivi delle piene erano misteriosi come le stesse sorgenti del fiume[4], ma le piene erano comunque considerate dei doni degli dei. Furono i primi geografi greci e romani a tentare delle spiegazioni, non solo basate sul sopranaturale, ma anche loro non andarono oltre l’ipotesi legata all’idea di una variabilità del livello delle nevi in corrispondenza delle pur sconosciute sorgenti, non potendo certo immaginare che la spiegazione poteva celarsi nell’altro emisfero terrestre. Secondo recenti studi il fenomeno meteorologico denominato “El Niño” riduce le precipitazioni alle sorgenti del Nilo di circa il 30% rispetto al “normale”. Naturalmente gli Egiziani antichi ignoravano tutto questo, sapevano però, per esperienza empirica, che la piena del Nilo alcuni anni era abbondante ed altri scarsa. Di conseguenza il raccolto alcuni anni era buono ed altri no, con delle punte di estrema abbondanza e di estrema carestia.

Si può pensare di utilizzare, come punto di partenza, la sintesi riportata sopra e sfruttare le possibilità offerte da Internet per svolgere lavori di gruppo sulla statistica nelle antiche civiltà a partire dalla navigazione sui siti indicati e riflettere sull’organizzazione dello stato egizio, che non usava moneta ma solo scambi in natura, e si basava fortemente sull’uso della statistica come base per le decisioni pubbliche. Dopo lo stato egizio occorre arrivare fino agli stati moderni (dal 1600 in poi) per ritrovare un altrettanto efficace e accurato uso delle rilevazioni statistiche per il governo dello stato e l’assunzione di decisioni in condizioni di incertezza, se si escludono i censimenti romani. Si può quindi riflettere sul concetto di media e di relazione statistica e trarre spunto dall’utilizzo dei nilometri per la previsione dei raccolti per introdurre la regressione come metodo di previsione statistica utilizzabile nei campi più svariati.

Per ulteriori materiali, approfondimenti e divagazioni si rimanda ai testi citati in bibliografia e ai siti elencati sotto.

Bibliografia per approfondimenti e materiali

2) Rossi C., “Rilevazioni e previsioni statistiche nell’Egitto dei Faraoni: Idee in libertà per un lavoro scolastico interdisciplinare”, Progetto Alice, 2001, in stampa.

3) Rossi C. “La statistica in rete: spunti per l’utilizzo didattico di alcune risorse disponibili”, INDUZIONI, 2001, in stampa.

[1] Un cubito era suddiviso in due “spanne” e in sette “palmi”, ogni palmo era, a sua volta, suddiviso in quattro “dita”.

[2] A questa tipologia si fa riferimento nel raccontino introduttivo.

[3] Il primo Faraone della prima dinastia, il leggendario Menes che unificò il paese, è ricordato nella pietra e si possono leggere ben 7 registrazioni dei livelli di piena durante il suo regno: nel suo primo anno, per esempio, si riporta un livello di 6 cubiti, nel terzo di 4 cubiti e un palmo, nel quinto di 5 cubiti, 5 palmi e un dito. Un’altra registrazione, relativa ad un suo successore (Miebis), ci da notizie di una piena eccessiva (8 cubiti e 3 dita).

[4] Oggi sappiamo che il Nilo nasce da due fiumi: il Nilo bianco che ha le sue sorgenti in Uganda e il Nilo azzurro che ha le sorgenti sull’altopiano etiopico.

	Salvati			Dispersi
	*uomini*	*donne*	*bambini*	*uomini*	*donne*	*bambini*
Passeggeri di 1^a classe	57	140	6	118	4	0
Passeggeri di 2^a classe	14	80	24	154	13	0
Passeggeri di 3^a classe	75	76	27	387	89	52
Equipaggio	192	20	0	670	3	0
Totale	338	316	57	1329	109	52

Uomini	*salvati*	*dispersi*	*totale*
Passeggeri di 1^a classe	57	118	175
Passeggeri di 2^a classe	14	154	168
Passeggeri di 3^a classe	75	387	462
Totale	146	650	796

Carla Rossi

Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata

Dispersi

Università e lavoro

statistiche per orientarsi

Bibliografia per approfondimenti e materiali